उपयोगी टिप्स

अपघटन के प्रमुख कारकों, विधियों और उदाहरणों में संख्याओं का गुणन

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एक प्रकार का कार्य है जिसमें विपरीत संख्या को पहले से ही एक टूटे प्रारूप में प्रस्तुत किए गए द्वारा दर्शाया गया है। इस मामले में, कागज का एक टुकड़ा लिया जाता है और संख्या के सभी घटकों को दाएं से बाएं क्रम में छोटे से बड़े तक लिखा जाता है। एक उदाहरण:

संख्या 4 इकाइयों, 8 दसियों, 7 सैकड़ों और 4 हजार में टूट गई है। इसे इकट्ठा करने के लिए, आपको क्रम में, दाएं से बाएं, इकाइयों से हजारों तक संख्या लिखना होगा:
4784.

  • 2018 में दसियों हजार
  • संख्या 1234 को शब्दों में तोड़ो

अभाज्य कारकों में किसी संख्या को विघटित करने का क्या अर्थ है?

सबसे पहले, हम यह पता लगाएंगे कि प्रमुख कारक क्या हैं।

यह स्पष्ट है कि चूंकि इस वाक्यांश में "कारक" शब्द मौजूद है, तो कुछ संख्याओं का एक उत्पाद होता है, और योग्यता शब्द "प्राइम" का अर्थ है कि प्रत्येक कारक एक प्रमुख संख्या है। उदाहरण के लिए, फॉर्म 2 · 7 · 7 · 23 के एक उत्पाद में चार प्रमुख कारक हैं: 2, 7, 7 और 23।

लेकिन एक संख्या को मुख्य कारकों में विघटित करने का क्या मतलब है?

इसका मतलब यह है कि इस संख्या को मुख्य कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, और इस उत्पाद का मूल्य मूल संख्या के बराबर होना चाहिए। एक उदाहरण के रूप में, तीन primes 2, 3 और 5 के गुणनफल पर विचार करें; यह 30 है, इसलिए 30 के मूल कारकों में से अपघटन का रूप 2 · 3 · 5 है। आमतौर पर, प्रमुख कारकों में एक संख्या का अपघटन समानता के रूप में लिखा जाता है, हमारे उदाहरण में यह इस तरह होगा: 30 = 2 · 3 · 5। हम अलग से जोर देते हैं कि अपघटन में सरल कारकों को दोहराया जा सकता है। यह निम्नलिखित उदाहरण द्वारा स्पष्ट रूप से चित्रित किया गया है: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3। लेकिन फार्म ४५ = ३ · १५ का प्रतिनिधित्व एक कारक नहीं है, क्योंकि संख्या १५ समग्र है।

निम्नलिखित प्रश्न उठता है: "सामान्य रूप से कौन से संख्याओं को कारक बनाया जा सकता है"?

इसके उत्तर की तलाश में, हम निम्नलिखित तर्क देते हैं। प्रमुख संख्या, परिभाषा के अनुसार, एक से अधिक सकारात्मक पूर्णांक हैं। इस तथ्य और पूर्णांक को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि कई प्रमुख कारकों का उत्पाद एक सकारात्मक पूर्णांक है जो एक से अधिक है। इसलिए, कारक केवल सकारात्मक पूर्णांकों के लिए होता है जो 1 से अधिक हैं।

लेकिन क्या सभी पूर्णांक ऐसे होते हैं जो प्राइम कारकों में विघटित हो जाते हैं?

यह स्पष्ट है कि अभाज्य पूर्णांकों में कारक होना संभव नहीं है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि primes के केवल दो सकारात्मक विभाजक हैं - एक और स्वयं, इसलिए उन्हें दो या अधिक अपराधों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। यदि पूर्णांक z को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद a और b के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो विभाज्यता की अवधारणा इस निष्कर्ष पर ले जाएगी कि z a और b द्वारा विभाज्य है, जो संख्या z की सादगी के कारण असंभव है। हालांकि, यह माना जाता है कि कोई भी अभाज्य संख्या स्वयं एक अपघटन है।

यौगिक संख्याओं के बारे में क्या? क्या यौगिक संख्याएं मुख्य कारकों में विघटित हो जाती हैं, और सभी यौगिक संख्याएं इस तरह के अपघटन के अधीन हैं? इनमें से कई सवालों का एक सकारात्मक जवाब अंकगणित के मूल प्रमेय द्वारा दिया गया है। अंकगणित के मूल प्रमेय में कहा गया है कि 1 से अधिक किसी भी पूर्णांक को प्रधान कारकों p के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।1, पी2, ..., पीn अपघटन का रूप = p है1· पी2· ... · पीn , और यह अपघटन अद्वितीय है, यदि आप कारकों के अनुक्रम को ध्यान में नहीं रखते हैं

विहित प्रधान कारक

संख्या के विस्तार में, प्रमुख कारकों को दोहराया जा सकता है। दोहराए गए प्रमुख कारकों को किसी संख्या की शक्ति का उपयोग करके अधिक कॉम्पैक्ट रूप से लिखा जा सकता है। मान लीजिए कि ए के विस्तार में, एक प्रमुख कारक पी1 मिलते हैं1 टाइम्स, प्राइम फैक्टर पी2 - एस2 समय, और इतने पर, पीn - एसn समय। फिर एक का प्रधान गुणन = a p के रूप में लिखा जा सकता है1 रों1 · पी2 रों2 · ... · पीn रोंn । रिकॉर्डिंग का यह रूप तथाकथित है विहित प्रधान कारक.

आइए हम किसी संख्या के विहित कारक का उदाहरण दें। आपको बता दें कि अपघटन 609 840 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11, लेखन के अपने विहित रूप में 609 840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2 है।

संख्या का विहित कारक आपको संख्या के सभी विभाजकों और संख्या के विभाजकों की संख्या का पता लगाने की अनुमति देता है।

प्रधान कारककरण एल्गोरिथ्म

किसी संख्या को मुख्य कारकों में विघटित करने के कार्य का सफलतापूर्वक सामना करने के लिए, आपको लेख प्रधान और यौगिक संख्याओं में जानकारी का बहुत अच्छा ज्ञान होना चाहिए।

एक सकारात्मक पूर्णांक के अपघटन की प्रक्रिया का सार, अंकगणित के मुख्य प्रमेय के प्रमाण से एकता से बड़ा है। इसका अर्थ क्रमिक रूप से सबसे छोटे प्रधान भाजक p को खोजना है1, पी2, ..., पीn संख्या a, a1, ए2, ..., एn-1 , जो हमें समानता की श्रृंखला प्राप्त करने की अनुमति देता है a = p1· एक1 जहां ए1= ए: पी1 , ए = पी1· एक1= पी1· पी2· एक2 जहां ए2= ए1: पी2 , ..., ए = पी1· पी2· ... · पीn· एकn जहां एn= एn-1: पीn । कब करता है an= 1, फिर समानता a = p1· पी2· ... · पीn हमें एक वांछित कारक दे देंगे। यह यहाँ ध्यान दिया जाना चाहिए कि पी1≤p2≤p3≤ ... ≤pn .

यह प्रत्येक चरण में सबसे छोटे प्राइम डिविजरों को खोजने के साथ सौदा करने के लिए बना हुआ है, और हमारे पास प्रमुख कारकों में संख्या को विघटित करने के लिए एक एल्गोरिदम होगा। अभाज्य विभाजकों को खोजने से हमें अभाज्य संख्याओं की तालिका में मदद मिलेगी। हम दिखाते हैं कि z के सबसे छोटे प्रधान भाजक को प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग कैसे करें।

हम क्रमिक रूप से primes की तालिका (2, 3, 5, 7, 11 और इसी तरह) से प्रिम्स लेते हैं और उनके द्वारा दिए गए नंबर z को विभाजित करते हैं। पहला अभाज्य संख्या जिसमें z पूरी तरह से विभाजित है, वह इसका सबसे छोटा प्रधान भाजक होगा। अगर z अभाज्य है, तो इसका सबसे कम प्रधान भाजक z ही है। यहाँ यह याद किया जाना चाहिए कि यदि z एक अभाज्य संख्या नहीं है, तो उसका सबसे छोटा प्रधान भाजक एक संख्या से अधिक नहीं है, जहाँ z का अंकगणितीय वर्गमूल है। इस प्रकार, यदि primes के बीच z का एक भी भाजक नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि z एक अभाज्य संख्या है (इस पर अधिक जानकारी के लिए, यह संख्या प्रधान या यौगिक है शीर्षक के अंतर्गत सिद्धांत खंड देखें)।

एक उदाहरण के रूप में, हम बताते हैं कि 87 के सबसे छोटे प्राइम डिविज़र को कैसे खोजना है। नंबर 2 को लें। 87 को 2 से विभाजित करें, हमें 87: 2 = 43 (बाकी 1) मिलता है (यदि आवश्यक हो, नियम और शेष के साथ पूर्णांकों को विभाजित करने के उदाहरणों पर लेख देखें)। यही है, जब 87 को 2 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 1 होता है, इसलिए 2 87 का भाजक नहीं है। हम प्राइम की तालिका से निम्न प्राइम नंबर लेते हैं, यह संख्या 3 है। 87 को 3 से विभाजित करें, हमें 87: 3 = 29 मिलता है। इस प्रकार, 87 3 से पूरी तरह से विभाज्य है; इसलिए, 3 87 का सबसे छोटा प्रधान भाजक है।

ध्यान दें कि सामान्य स्थिति में, के प्रमुख कारकों के लिए, हमें किसी संख्या से कम तक की संख्या की आवश्यकता होती है। हमें हर कदम पर इस तालिका की ओर मुड़ना होगा, इसलिए हमें इसे हाथ में रखना होगा। उदाहरण के लिए, 95 के प्रमुख कारकों में विघटित करने के लिए हमें 10 (10 के बाद से अधिक है) तक की एक तालिका की जरूरत है। और संख्या 846,653 के विस्तार के लिए, 1,000 तक के अपराधों की तालिका की आवश्यकता होगी (चूंकि 1,000 से अधिक हैं)।

अब हमारे पास रिकॉर्ड करने के लिए पर्याप्त जानकारी है मुख्य कारक एल्गोरिथ्म। संख्या का अपघटन एल्गोरिदम निम्नानुसार है:

  • क्रमिक रूप से अभाज्य सारणी से संख्याओं को छाँटने से, हम सबसे छोटे प्रधान भाजक p ज्ञात करते हैं1 एक संख्या, जिसके बाद हम गणना करते हैं1= ए: पी1 । यदि ए1= 1, फिर संख्या एक अभाज्य है, और यह स्वयं प्रधान कारकों में इसका विस्तार है। यदि ए1 1 के बराबर है, तो हमारे पास एक = पी है1· एक1 और अगले चरण पर जाएं।
  • सबसे छोटा प्रधान भाजक p ज्ञात कीजिए2 संख्या a1 , ऐसा करने के लिए, हम प्राइम टेबल से नंबर के माध्यम से सॉर्ट करते हैं, पी से शुरू करते हैं1 , जिसके बाद हम गणना करते हैं2= ए1: पी2 । यदि ए2= 1, तो a का वांछित गुणन = a है1· पी2 । यदि ए2 1 के बराबर है, तो हमारे पास एक = पी है1· पी2· एक2 और अगले चरण पर जाएं।
  • पी के साथ शुरू एक प्रमुख तालिका से संख्याओं में फेरबदल2 , सबसे छोटा प्रधान विभाजक p खोजें3 संख्या a2 , जिसके बाद हम गणना करते हैं3= ए2: पी3 । यदि ए3= 1, तो a का वांछित गुणन = a है1· पी2· पी3 । यदि ए3 1 के बराबर है, तो हमारे पास एक = पी है1· पी2· पी3· एक3 और अगले चरण पर जाएं।
  • सबसे छोटा प्रधान भाजक p ज्ञात कीजिएn संख्या an-1 पी से शुरू होने वाले अपराधों के माध्यम से छंटनीn-1 साथ ही एn= एn-1: पीn , और एn यह 1 निकला। यह चरण एल्गोरिथ्म का अंतिम चरण है, यहां हम संख्या के वांछित गुणनखंड प्राप्त करते हैं: a = p1· पी2· ... · पीn .

संख्या को मुख्य कारकों में डिकम्पोज़ करने के लिए एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में प्राप्त किए गए सभी परिणाम निम्न तालिका के रूप में स्पष्टता के लिए प्रस्तुत किए जाते हैं, जिसमें संख्याएँ, क्रमिक रूप से स्तंभ में ऊर्ध्वाधर पट्टी के बाईं ओर लिखी जाती हैं1, ए2, ..., एn , और रेखा के दाईं ओर सबसे कम अभाज्य विभाजक p हैं1, पी2, ..., पीn .

यह केवल प्रमुख कारकों में संख्याओं के अपघटन के लिए प्राप्त एल्गोरिथ्म के आवेदन के कुछ उदाहरणों पर विचार करने के लिए बनी हुई है।

प्रधान कारक उदाहरण

अब हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे प्रमुख कारक उदाहरण। विस्तार में, हम पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिथ्म लागू करेंगे। चलो सरल मामलों से शुरू करते हैं, और संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित होने पर उत्पन्न होने वाली सभी संभावित बारीकियों का सामना करने के लिए हम धीरे-धीरे उन्हें जटिल करेंगे।

फैक्टर नंबर कैसे?

किसी भी समग्र संख्या को उसके प्रमुख विभाजकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:

प्राप्त समानता के दाहिने हाथ के किनारों को कहा जाता है प्रमुख कारक 15 और 28 नंबर।

किसी दिए गए समग्र संख्या को मुख्य कारकों में विघटित करना इस संख्या को इसके प्रमुख विभाजकों के उत्पाद के रूप में दर्शाना है।

प्रमुख कारकों में इस संख्या का अपघटन इस प्रकार है:

  1. सबसे पहले आपको प्राइम टेबल से सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करना होगा जिसके द्वारा यह यौगिक संख्या शेष के बिना विभाज्य है, और विभाजन करते हैं।
  2. इसके बाद, आपको फिर से सबसे छोटी अभाज्य संख्या लेने की आवश्यकता होगी जिसके द्वारा पहले से प्राप्त भागफल को शेषफल के बिना विभाजित किया जाएगा।
  3. दूसरी क्रिया दोहराई जाती है जब तक कि एक इकाई भागफल में प्राप्त नहीं होती है।

एक उदाहरण के रूप में, हम संख्या 940 को प्रमुख कारकों में घटाते हैं। हम सबसे छोटी प्रधान संख्या को 940 से विभाजित करते हैं। यह संख्या 2 है:

अब हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करते हैं, जिसे 470 से विभाजित किया गया है। यह संख्या फिर से 2 है:

सबसे छोटी अभाज्य संख्या जो 235 भाग 5 है:

संख्या 47 अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि सबसे छोटी अभाज्य संख्या, जिसके द्वारा 47 को विभाजित किया जाता है, संख्या स्वयं होगी:

इस प्रकार, हम प्रमुख कारकों में विघटित होकर संख्या 940 प्राप्त करते हैं:

940 = 2 · 470 = 2 · 2 · 235 = 2 · 2 · 5 · 47

यदि प्रमुख कारकों में एक संख्या को कम करने में हमें कई समान कारक मिलते हैं, तो संक्षिप्तता के लिए, उन्हें एक शक्ति के रूप में लिखा जा सकता है:

940 = 2 2 · 5 · 47

अभाज्य गुणनखंडन सबसे आसानी से निम्नानुसार लिखा जाता है: पहले इस समग्र संख्या को लिखें और इसके दाईं ओर एक लंबवत पट्टी बनाएँ:

पंक्ति के दाईं ओर हम सबसे छोटे सरल भाजक लिखते हैं जिसमें यह मिश्रित संख्या विभाजित होती है:

हम विभाजन करते हैं और विभाजन से उत्पन्न भागफल को लाभांश के नीचे लिखा जाता है:

हम दिए गए समग्र संख्या के साथ भागफल के साथ उसी तरह से व्यवहार करते हैं, अर्थात्, हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करते हैं जिसके द्वारा यह शेष के बिना विभाज्य है और विभाजन करता है। और इसलिए हम तब तक दोहराते हैं जब तक कि एक इकाई भागफल में प्राप्त न हो जाए:

कृपया ध्यान दें कि कभी-कभी प्रमुख कारकों में एक संख्या को विघटित करना मुश्किल होता है, क्योंकि विघटित होने के बाद हम एक बड़ी संख्या का सामना कर सकते हैं, जो कि सरल या यौगिक होने पर सीधे निर्धारित करना मुश्किल है। और अगर यह यौगिक है, तो अपने सबसे छोटे सरल भाजक को ढूंढना हमेशा आसान नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, चलिए 5106 को मुख्य कारकों में बदलने की कोशिश करते हैं:

निजी 851 तक पहुंचने के बाद, अपने सबसे छोटे विभाजक को तुरंत निर्धारित करना मुश्किल है। हम primes की तालिका की ओर मुड़ते हैं। यदि इसमें कोई संख्या है जो हमें कठिनाई में डालती है, तो यह केवल और केवल एक से विभाजित होती है। नंबर 851 प्राइम टेबल में नहीं है, जिसका मतलब है कि यह एक समग्र है। यह केवल अनुक्रमिक खोज की विधि द्वारा इसे प्रमुख संख्याओं में विभाजित करना है: 3, 7, 11, 13,। और तब तक जब तक हमें एक उपयुक्त प्रधान विभाजक नहीं मिल जाता। गणना विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि 851 को संख्या 23 से विभाजित किया गया है:

इस प्रकार, हम प्रमुख कारकों में विघटित संख्या 5106 प्राप्त करते हैं:

5106 = 2 · 3 · 23 · 37

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